ICS 17.040.20 J04
中华人民共和国国家标准化指导性技术文件
GB/Z26958.20—2011/ISO/TS16610-20:2006
产品几何技术规范（GPS) 滤波第20部分：线性轮廓滤波器 基本概念
Geometrical Product Specifications (GPS)Filtration-
Part 20:Linear profile filters : Basic concepts
(ISO/TS16610-20:2006,IDT)
2012-03-01实施
2011-09-29发布
中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局
中国国家标准化管理委员会 发布 GB/Z 26958.20—2011/ISO/TS 16610-20:2006
前言
GB/Z26958《产品几何技术规范（GPS）滤波》国家标准化指导性技术文件分为89部分，已转化为国家标准化指导性技术文件的有以下9部分：
第1部分：概述和基本概念；第20部分：线性轮廓滤波器基本概念；第22部分：线性轮廓滤波器样条滤波器；第29部分：线性轮廓滤波器样条小波；第31部分：稳健轮廊滤波器高斯回归滤波器；第32部分：稳健轮廓滤波器样条滤波器；一第40部分：形态学轮廓滤波器基本概念；
-第41部分：形态学轮廓滤波器圆盘和水平线段滤波器；第49部分：形态学轮廓滤波器尺度空间技术。
本部分为GB/Z26958的第20部分。 本部分按照GB/T1.1一2009给出的规则起草。 本部分使用翻译法等同采用国际技术规范ISO/TS16610-20：2006《产品几何技术规范（GPS）滤
波第20部分：线性轮廓滤波器基本概念》。
为了便于使用，本部分做了如下编辑性修改：
“国际技术规范的本部分”一词改为“指导性技术文件的本部分”；一删除了国际技术规范的前言和引言；一在技术内容和编写格式上与该国际技术规范一致。 本部分由全国产品几何技术规范标准化技术委员会（SAC/TC240）提出并归口。 本部分起草单位：华中科技大学、中机生产力促进中心、哈尔滨量具刃具集团有限公司。 本部分主要起草人：刘晓军、明翠新、王欣玲、郎岩梅、陈景玉、李海斌。
I GB/Z26958.20--2011/IS0/TS16610-20.2006
产品几何技术规范（GPS） 滤波第20部分：线性轮廓滤波器 基本概念
1范围
GB/Z26958的本部分规定了线性轮廓滤波器的基本概念。
2规范性引用文件
下列文件对于本文件的应用是必不可少的。凡是注日期的引用文件，仅注日期的版本适用于本文件。凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本文件。
GB/T18777一2009产品几何技术规范（GPS）表面结构轮廓法相位修正滤波器的计量特性(ISO 11562:1996,IDT)
GB/Z26958.1-—2011 产品几何技术规范（GPS）滤波第1部分：概述和基本概念（ISO/ TS 16610-1:2006,IDT)
JJF1001通用计量术语及定义［国际计量学通用基础术语（VIM），BIPM、IEC、IFCC、ISO、 IUPAC.IUPAP,OIMLJ
3术语和定义
JJF1001.GB/T18777—2009、GB/Z26958.1—2011界定的以及下列术语和定义适用于本文件。
3.1
线性轮廓滤波器linearprofile filter 将轮廓分为长波和短波成分的轮廓滤波器。
3.2
相位修正（线性）轮廓滤波器phasecorrect（linear）profilefilter 不产生导致非对称轮廓变形的相移的轮廓滤波器。 注：相位修正滤波器是线性相位滤波器的一种特殊类型，因为任何线性相位滤波器都能够转换为（简单地通过平移
权函数）零相移滤波器，即相位修正滤波器。
3.3
权函数 weighting function 用于计算中线的函数，该函数表明某点的相邻轮廓点的权重。 注：中线的传输特性是权函数的傅立叶变换。
3.4
滤波器的传输特性transmission characteristic of a filter 表示滤波器对正弦轮廓信号幅值的衰减特性，以衰减量与轮廊波长的关系函数表示。 注：传输特性是权函数的傅立叶变换。
3.5
截止波长cut-off wavelength 通过轮廓滤波器后，幅值衰减50%的正弦轮廓的波长。 注1：线性轮廓滤波器用滤波器类型和截止波长值来区分。 注2：截止波长是线性轮廊滤波器的推荐嵌套指数。 GB/Z26958.20-2011/ISO/TS16610-20.2006
3.6
滤波器组filterbank 以明确结构排列的高通和低通滤波器序列。
3.7
多分辨率分析 multiresolution analysis 由一个滤波器组将一个轮廊分解为不同尺度成分的过程。 注：尺度也称作分辨率。
4 基本概念
4.1概述
符合本部分的滤波器具有5.1、5.2、5.3和5.4所描述的特征。 注：附录A中给出了线性轮廓滤波器的概念关系图，附录B给出了滤波矩阵模型的关系图。 一般的线性轮廓滤波器定义见式（1）：
y(α)= K(,e)2()ds
13
其中，（)是未滤波轮廓，y（）是滤波后获得的轮廓，K（，)是一个对称且具有空间不变性的实函数核。如果K（，E)=K（α一，滤波过程是一个卷积操作，见式（2）：
y(r) = K(r-)z()de
(2)
该函数核称为滤波器的权函数。 由于采样数据总是离散的，这里描述的滤波器也应是离散的。如权函数是连续的（见4。4的示例2），
应转换为离散形式。 4.2数据的离散表示
组采样轮廓数据可以用一个向量表示。向量维数n等于数据点的数目。假定均匀采样，亦即等
间距采样，则轮廓的第i个数据点为向量的第i个元素，见式（3）：
(ai a2""a **an- an)
(3)
4.3 线性轮廓滤波器的离散表示
线性轮廓滤波器用方阵表示，其维数等于滤波数据点数，如果滤波器是非周期性的，则该矩阵为一恒定对角矩阵，见式（4）：
".
-.
C b" a 6 C
6' a. b c
（4)
2
6
8
Q
反之，若滤波器为周期性的，则该矩阵为 一循环矩阵，见式（5）：
b C
[a b C b" a 6
C
b a 6
C
、#*
(5)
b C
b
6* a 6 c b' a
b
2 GB/Z26958.20—2011/IS0/TS16610-20:2006
如果滤波器是相位修正滤波器，则该滤波器的矩阵为对称矩阵，即bb，c=..（一般地，a— a）。矩阵每一行i的所有元素α之和为定值，对于低通滤波器来说，该值等于1，见式（6）：
(6)
注：对一个对称矩阵，矩阵每一列的元素α之和恒定，也等于1，即：
Zai: 二
二
4.4权函数的离散表示
若经过相应的平移后，滤波器矩阵表达式的每一行都相同，则矩阵元素可以只用一行表示，见式（7）：
k-i-j
-(7)
aj-st
S构成一维向量s，其维数等于输或输出数据向量的长度。该向量s就是滤波器权函数的离散表示。
注1：通常权函数的长度远小于数据列的长度，因此：两端都要补零。 示例1：移动平均滤波器通常用于数据列的简易平滑（不一定是最优方法）。在下面这个带有离散权函数的滤波器
的例子里，权函数（长度为3)由式（8)给出：
(11，号.
(8)
333
注2：权函数通常又叫做脉冲响应函数，因为它是当输人数据列为单一单位脉冲（0，0,0,1,0,0，0，）时，滤波器
的输出数据列。 如果权函数连续，应对它进行采样以获得离散数据列，且采样间距应等于滤波数据的采样间距。为
了使权函数的离散采样满足归一化条件，从而避免偏离效应（关于偏离效应详见文献[27），应对其进行再次归一化处理。
示例2：根据GB/T18777，高斯滤波器是一个由方程s（z）定义的连续权函数的例子。
s(1)=- exp
.(9)
T
aαa.
a
式中:
距权函数中心的（最大）距离；截止波长；一个由式（10）给出的常数。
e
a
In2
0.4697...
(10)
高斯权函数如图1所示。
s Cx)
1
+
图1-一个连续权函数（高斯滤波器）的例子
3 GB/Z26958.20--2011/IS0/TS16610-20.2006
经过再次归一化处理，权函数的取样数据5由式（11）给出：
ss=exp 一na C:-Zexp
0.7
(11)
其中，取样间隔为△r，归一化常数为：
(12)
5线性轮廊滤波器
5.1滤波方程
如果滤波器由矩阵S表示，输入数据由向量表示，输出数据由向量表示，则滤波操作可用线性方程（13)表示为：
w=Sz
（13)
这个方程是滤波方程。如果S-是滤波器矩阵S的逆矩阵，则：
zSw
(14)
也是有效的滤波方程。 注1：滤波器可用矩阵S或其逆矩阵S-1定义，二者都会产生一个比较简单的定义。但是，权函数只能由矩阵的行
向量给出。
注2：逆矩阵不存在的情况下，滤波过程不可逆，也就是说，不可能进行数据重构。这种滤波器称不稳定滤波器。滤
波器的稳定性可由它的传递函数（见5.3）看出，一个不稳定滤波器的传递函数H（a）至少在一个频率α位置时值为零。
示例：上面提到的移动平均滤波器矩阵不可逆，因而该滤波器不稳定。
. .
1 1 1
1-3
1 1 1
(15)
11 1
.
如果该滤波器被改变为如下移动平均滤波器（α<1/2），它将变成稳定滤波器。
·
1 α
1 1+20
o
(16)
1 α a. 1
如果S是一个常对角矩阵或循环矩阵，则逆矩阵S-1也是一个常对角矩阵或循环矩阵。如果S对称，则逆矩阵S-1也对称。 5.2离散卷积
滤波方程可以写为：
W,=Zagz=EStz立
（17)
后面的表达式称为离散卷积，缩写为一S·z。如果滤波器矩阵是循环矩阵，则卷积也循环，也就是说，系数S-，可以视为在两端（被限定的）周期性地延伸。
注：循环卷积可用快速傅立叶变换（FFT)计算，它比通常的卷积运算要快。 示例：图2所示为一离散卷积的实例。这里，i一3点的滤波值w由点j=0，，6的数据点与权函数在点i一j处采
样值的积求和得到。
4 GB/Z26958.20—2011/IS0/TS16610-20.2006
(18)
t.
S:
s(x)
z (x)
.4
+3 +2
图2离散卷积的例子
5.3传递函数
离散卷积的离散傅立叶变换得到：
W-HZ
(19)
其中，Z是输人向量的离散傅立叶变换，W是输出向量的离散傅立叶变换，H是权函数s离散表达式的离散傅立叶变换。函数H叫做滤波器的传递函数。它依赖于波长入或角频率の=2元/入，因为它由傅立叶变换转换到波长或频域。
权函数的离散表达式是由s组成的向量s，其傅立叶变换H（）由式（20）计算得到：
H(w)一 Zsie-i xS+ Zsi(cosak+isinwk)
·(20)
车
一般而言，传递函数是复数形式，但是如果权函数对称，也就是s-一s，可以将其简化为实传递函数：
H(w)=S。+2Zsicoswk
(21)
A>0
相位修正滤波器的传递函数总是实函数，也就是其虚部为零。这是因为虚部表示相移，而相位修正滤波器不存在相移。
示例1：上面提到的移动平均滤波器的传递函数为：
1+2cosw
H(α) =
(22)
3
该传递函数图形如图3所示。该滤波器不稳定，因为如果@=士2元/3，H（a）一0。 GB/Z26958.20—2011/IS0/TS16610-20.2006
H(a)
+0.5
+升
0. 5
图3波长为3的移动平均滤波器的传递函数
图3所示的移动平均滤波器是一个低通滤波器，因为H（）在频率=0附近取最大值。反之，高通滤波器的传递函数H（）在接近一土π的最高频率区取得最大值。如果已知一个低通滤波器的传递函数H。（α），那么得到高通滤波器传递函数Hi（α)的最简单办法就是计算Hi（）1H。（c）。但是，该方法并不总是最佳选择。
示例2：高通滤波器对移动平均滤波器而言是互补的，因而是稳定的。（加权）移动平均滤波器具有（低通）传递函数：
H.(w) = 1 +2αcosw
(23)
1+2α
而相应的高通滤波器具有传递函数：
2α (l - cosw)
-(24)
H (w) = 1-H.() -
1+2α
两个传递函数如图4所示。
H(α)
0.5
说明： A-高通传递函数； B低通传递函数。
图4α=0.25时高通和低通传递函数
低通滤波器的权函数是：
6