ICS 17. 040. 20 J 04
中华人民共和国国家标准化指导性技术文件
GB/Z 26958.29--2011/ISO/TS 16610-29 :2006
产品儿何技术规范（GPS）
滤波第29部分：线性轮廓滤波器
样条小波
Geometrical Product Specifications (GPS).
Filtration-Part 29 : Linear profile filters : Spline wavelets
(ISO/TS 16610-29:2006,IDT)
2011-09-29 发布
2012-03-01实施
中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局
中国国家标准化管理委员会 发布 GB/Z 26958.29---2011/IS0/TS 16610-29 :2006
产品几何技术规范（GPS）
滤波第29部分：线性轮廓滤波器
样条小波
1范围
GB/Z26958的本部分规定了用于轮廓滤波的样条小波及相关概念，给出了样条小波的基本术语及其应用。
2规范性引用文件
下列文件对于本文件的应用是必不可少的。凡是注日期的引用文件，仅注日期的版本适用于本文件。凡是不注日期的引用文件，其最新版本(包括所有的修改单)适用于本文件。
GB/Z26958.1—2011产品几何技术规范（GPS）滤波第1部分：概述和基本概念（ISO/TS 16610-1 :2006, IDT)
GB/Z26958.20—2011产品几何技术规范（GPS）滤波第20部分：线性轮廓滤波器 导基本概念(ISO/TS 16610-20 : 2006,IDT)
GB/Z26958.22—2011产品几何技术规范（GPS）滤波第22部分：线性轮廓滤波器 样条滤波器(ISO/TS 16610-22:2006,IDT)
JJF1001通用计量术语及定义L国际计量学通用基础术语（VIM），BIPM、IEC、IFCC、ISO、 IUPAC.IUPAP,OIMLI
3术语和定义
JJF 1001、GB/Z26958.1—2011、GB/Z26958.20--2011、GB/Z 26958.22--2011界定的以及下列术语和定义适用于本文件。 3.1
母小波 mother wavelet 形成小波分析基本构架的单变量或多变量函数，和尺度函数有关。 注：通常母小波积分为零，具有空间域上局域化、颊域上有限带宽的特性。实值母小波实例如图1所示。
s(x)
图1实值母小波例子
1 GB/Z 26958.29—2011/IS0/TS 16610-29 :2006
3. 2
小波族 wavelet family ga.b 通过母小波的伸缩和平移生成的函数族。 注：假定g(α)为母小波，则小波族ga（α)按如下方式生成：
gab(z) = a-0. g(F=b)
（1）
式中: a伸缩参数; b- 平移参数。
3.2.1
伸缩dilation <小波>用因子α缩放空间变量的变换。 注 1：对任一正实数 a,该变换将函数 g(z)变换为 a-0.5g(/a)。 注2：因子α-0.5使变换后的小波函数下的面积保持恒定。
3.2.2
平移 translation 将函数空间位置移动实数b的变换。 注：对任意一个实数b,该变换将函数 g(z)变换作 g(一b)。
3.3
离散小波变换 discrete wavelet transform 是将轮廓仅分解为小波族线性组合的运算，其中小波族平移参数为整数，伸缩参数为一大于1的固
定正整数的幂。
注1：通常伸缩参数为2的幂。 注2：在GB/Z26958的其余部分，我们将离散小波变换称作小波变换。
3.4
多分辨率分析multiresolution analysis 由一个滤波器组将一个轮廓分解为不同尺度组成的过程。 注1：尺度也称作分辩率。 注2：见图2. 注3：根据定义，由于小波变换中没有信息损失，从多分辨率分析得到的阶梯结构重构原始轮廓是可能的。
3.4.1
低通成分 lowpass component 与一平滑（低通)滤波器卷积且下采样得到的成分。
3.4.2
高通成分highpass component 与一差分(高通)滤波器卷积且下采样得到的成分。 注：差分滤波器的权函数定义为来自于具有特殊伸缩参数而无平移的小波函数的特殊小波族。
3.4.3
多分辨率阶梯结构 multiresolution ladder structure 由所有各阶差分成分和最高阶平滑成分组成的结构。
3.4.4
尺度函数 : scalar function 定义用于获取平滑成分的平滑滤波器权函数的函数。 注：为了避免在多分辨率阶梯结构中的信息损失，小波函数和尺度函数相匹配。 2
1 GB/Z 26958.29—2011/IS0/TS 16610-29 :2006
3.4.5
下采样decimation （小波>每点进行一次采样的小波操作，其中为正整数。 注：通常取2。
3.5
样条小波spline wavelet 相应的重构尺度函数为样条的小波族。
4小波的总体描述
4.1 概述
符合本部分的样条小波要求满足附录A所给出的方程。 注：附录B给出了三次插值样条小波的应用例子。附录C给出了样条小波滤波器概念的概念图，图D.1给出了本
部分与滤波矩阵模型的关系，附录 E给出了本部分与GPS矩阵模型的关系。
4.2小波的基本用途
小波分析是指将轮廓分解为来自于某一母小波的小波族ga（)的线性组合。类似于傅立叶变换将轮廓分解为正弦波的线性组合。但不同于傅立叶变换的是，小波分析不但能识别轮廓特征的位置，也能识别特征尺度。因此，小波分析能够分解一部分的小尺度结构与其他部分结构不相关的轮廓，如具有局部变化特征(划痕等)的轮廓。此外，小波还适用于分析非静态轮廓。基本上小波将轮廓分解为形状相同但尺度不同的组成部分。 4.3小波变换
对以固定间距 ;=(其中：△为采样间距,i=·*一2，一1,0,l,2-)采样获得的轮廓 s(t），实施以g(z)为母小波的离散小波变换式为：
S(ix,a) = Ax s[(i- j)Azlgajar(jAr)
:(2)
伸缩参数α 也限于离散值。通常 a的连续值成固定比例，即 αi/αi+1一常数。 注 1：常数通常取为 2。 如果小波g(α)有界，则在尺度α上g（α)的采样点数随着α线性增长，如此则基于上述公式的算法
计算S通常不切实际。有效的小波算法依赖于母小波的各种特性。这里考虑的是对于双正交小波非常有效的多分辨算法（见GB/Z26958.20）。样条小波属于双正交小波。
小波变换的多分辨率形式由平滑近似到轮廓的阶梯构造组成（见图2）。第一层为原始轮廓，阶梯
中的每一层都由滤波器组组成（见GB/Z26958.20）。滤波器组将轮廓S"分解成两部分：
轮廓的更平滑形式 Si+1,变成下一层，和相邻两层平滑轮廓的差值di+1。
滤波器组中的低通（平滑）滤波器H。和高通滤波器H将轮廓点数减半。
MI 差
M? 差
M 差
M 差
3
S
S
1
图2采用小波变换的多分辨率分离示例
3 GB/Z 26958.29—2011/IS0/TS 16610-29:2006
附录A （规范性附录）插值样条小波族
A.1 概述
提升(Lifting)原理用来定义插值样条小波族。由原始采样轮廓开始，在多分辨辩阶梯中的每一层都经过三个阶段从上一层计算获得。这三个阶段为：划分、预测和更新。
A.2划分阶段
小波变换的提升算法首先将第i层的平滑轮廓A，划分成“奇数”和“偶数”子集，每个子集都包含 A，一半的样本数。运算集为：
[aj+1, = Aj,2k di+1,# =Aj,2i+1
.-.+-.-( A. 1 )
其中 Ao=Z为原始采样轮廓
A.3预测阶段
奇数与偶数子集是穿插的。如果轮廓具有区域相关结构，奇数和偶数子集将高度相关，因此在合理
的精度下，由偶数子集预测奇数子集是可能的
小波算法的预测阶段由两步组成，即从偶数子集预测奇数子集，然后从奇数子集值中去除预测值。 运算集为：
dj+1, =dj+1, - p(aj+1,元)
....( A. 2 )
对于插值样条小波族，可采用线性多项式进行预测。β(ai+1,)是小波系数点的加权预测。
1 1
p(ajt1.) - Z f (aj+1)
--(A.3)
p(αi+1,）的值基于偶数子集序列。其中 N表示参与加权预测的数据点数；f；是一个小波系数点的滤波因子(加权函数)集合，通过应用下面的(N一1)阶Neville 多项式插值运算可以得到：
fi = i1 (a) =(μ二) fr(μ)-(μn) 12~-1(a)
-(A.4)
(TN-T1)
式中：初始系数 fi，fz，·，fn 为(N1)阶样条插值的 Bezier 系数集。 例如，如果用三次多项式插值生成加权函数，将有四个相邻值参与加权预测。应当考虑如下五种
情况：
1）在间隔两端各有两个相邻点; 2）间隔左边界左边有一个采样点，右边有三个采样点； 3）采样点布局与（2)相同，但分布在右边界； 4）四个采样点全部在左边； 5）四个采样点全部在右边。 考虑这些情况是为了保障边界自然而不包含任何人为于扰（所有滤波因子列于表A。1）。这样做的
结果是不再需要通常滤波方法涉人的边界长度。
5