数事共来与表用
应用研究
快速确定K-L展开的泽尼克多项式系数的
协方差矩阵对经过大气瑞流的波前进行模拟
纪庆楠付芸张伶恰
(长森理工大学吉林长春130022)
摘要：使用基于zernike多项式的K一L展开法对经过大气滤流的波前进行模权时，需要根据泽尼克多项式的协方差矩阵对泽尼克多项式的系数进行来解，从而实现对大气滤流的模拟。本文使用一种快速确定协方差矩阵的方法求得泽尼克多项式系数，进而实境对波前的模拟，并以前 15阶泽尼克多项式为例，模拟出经过大气端流的波前。
关键词：空地激光通信，自适应光学，波前模拟，大气滤流，泽尼克多项式，协方差矩阵
中图分类号：TP212
文献标识码：A
文章编号：1007-9416(2012)11-0107-03
光波在大气中进行传插时，大气滑流会造成空气折射率的随机变化，进面引起光波的振幅和相位的随机变化，导致光强闪炼、波面的略变，到达角的起伏和光束漂移等现象，大大影响了空地激光通信的质量。在空地激光通信系统中应用自适应光学系统可以对大气流产生的影响进行实时检测和校正，对波面畸变进行改善，提高通信质量。对受大气消流引起的波前畸变进行仿真模拟对自适应光学系统的设计、研究和使用有很大的作用，可以大大减少实验成本，提高实验效率，并且能够模拟某些实际条件无法实现的试验场量。
自适应光学系统中受大气瑞流影响的光学波前的模拟方法主要有四种：基于zernike多项式的K-L函数展开法，小波法、Fourier 法以及ARMA法。其中无论是精度还是速度上基于zermike多项式的K-L函数展开法都更适合于对经过大气的波前进行模拟"。但是，在使用该方法对波前进行模拟时，需要计算泽尼克多项式系数的协方差矩阵，此过程比较繁。本文介绍了一种快速确定泽尼克多项式系数的协方差矩阵的方法，并应用该方法确定泽尼克多项式系数，进而实现对经过大气流的波前进行模拟
1、K-L函数系数与zernike多项式系数之间的联系
在自适应光学系统中，一般用波前来描述相差，即对波前进行模拟。在单位圆内将受到大气瑞流影响的波前展开成服从一定已知模式和统计规律的Zernike多项式的二维形式(2的表达式为：
(r)=a,z,(r)
(1)
式中Z,(r)为zernike多项式的各项，分别对应不同级次的相
差，α，为加权系数，是进行波前重构时需要求解的量，该系数服从定的统计规律，但是并非服从统计独立，即系数之间的相关性不全为0。
虽然K-L函数没有统一的表达式，但是K-L函数与zermike多项式的形式相似：
F(r)=bK,(n)
(2)
这里b，是服从统计规律的相互独立的随机变量，即系数之间的相关性为0;K,(x)为K-L函数的各项。利用K-L函数的这种统计独立特性，对zermike多项式系数的相关性进行正交化处理，得到了通过K-L函数进行波前展开的多项式为：
(r)=b,K,(r) 其中,K,()=2,(0)
(3)(4)
各阶K-L模式间在单位圆上正交，并且在对大气满流产生的波前畸变量进行描述时，各阶K一L模式间是相互独立的
将公式(4)代入公式(3)有对波前进行基于zermike多项式的K-L展开式有：
r)-[5·,(r]
(5)
根据公式(1)和公式(5)可知，zernike多项式的系数矩阵A和 K-L函数展开式的系数矩阵B之间的关系为：
4=V.B
表1前15阶泽尼克多项式表
径向频率(n)
0 1
4
角向频率（m）
0
Z,=1(带数）
Z,=3离焦(纵向）(2p°1)
Z,-v5(6e*3阶球差 6p* + 1)
Z,-2pcos0顿斜（横间） Z, = 2p sin 6
Z, V8(3g2 2p)sin6 Z, =V8(3p* 2p)cos6
慧差(3阶）
2
Z, = 6p° sin 20
象散（3阶）
Z, = /6p° cos26
Z, = v10(4p) 3,p~)cos20 Z, =10(4p 3p~)sin 26
3
Z, =v8p sin 39 Z%a = 8p cos36
4
(6)
Z.iop cos 40 Z, =hop sin 46
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