数事执术与度用
应用研究
离散傅里叶变换及反变换在数字滤波器设计中的
应用周蒸
（西安科技大学高新学院陕西西安710109）
摘要：以离散傅立叶变换和反变换算法为基础，文中设计了一种数宇滤波器，主要对滤波算法做了详细介绍。该算法主要是通过对信号的高散傅立叶变换，得到一组幅度和频率对应的变换值，根据滤波器要求，使不满足要求的频率点对应的幅度值为零，得一组新数据，对这组新数据进行高傅立叶逆换，结采即为滤波后的信号。其幅频特性近乎理想特性。
关键调：离最傅里叶变换数字滤波器FFT滤波器
文献标识码：A
中图分类号：TN713 1、引言
文章编号：1007-9416(2011)08-0041-02
1N_T
角函数的额率逐滞增加，周期逐渐减小，其周期为：工
随着高速数字信号处理器的发展，数字信号处理技术的应用也越来越广泛，特别是一些较复禁的数字滤波算法正在从理论算法向实际应用过度。一般的数字滤波器（如FIR滤波器，IR滤波器等）无法实现彻底的滤除干犹优信号，在其幅频特性上，总会在理想的截止频率与实际的截止频率之间存在一个过渡频带，这种过度频带是无法消除的，只能无限大缩小，但是频带的缩小是以成指数增加的运算量为代价的。如果采用FFT及FFT技术进行滤波，则儿乎可以假到接近理想滤波器的效果。这种滤波器的特点是利用了离散化的傅单叶变换算法，先对信号的频谱进行分析，再根据滤波要求直接易除不需要的频谱，因此能很干净的滤除干扰。由于离散傅立叶变换所要求的计算量比较大，固此需要采用高速的数字信号处理器配合
专用FFT和IFFT硬件电路，几乎可以做到信号的实时处理。 2、傅立叶变换算法
利用傅里叶基数可以对一个周期函数进行无穷项展开，得到该函数的各次谐波分量，例如：函数(x)的周期为2/，用傅立叶基数进行无穷项展开为
(x)+(a.cos+b,sin）
()
2
nrxdx，b,=
st.a.
x)cos
其中;=
f(x)sir
去为各次谐波分量的系数，数值大小与展开项的次数有关。为了得到高散化的傅里叶基数展开式，需要将式(1)离散化。离散化的方法是函数(x)的周期区闻(0，2/)上进行等闻隔采样，假设采样点数为N点，取样周期为Ar那么/-NN
，得到一个函数(x)的离 2
nrx_2aki
散化序列值：x，x，x-，且
N
傅里叶级数展开式的离散化形式为：
学+
2元ki
2元ki +h sin
+>(a, cos
x, =
2
2
其中：
N
N
2
N
b,
N
，那么(1)式的
(2)
2
2元ki Csin
N
N
2xki
为离散傅单叶级数的个多次项系数。对角度项
做变换，使其分 N
子分母同乘以采样周期△后变为：2元
K
(ir)，这样就可以得出
N
第项的表达式，它是一个正弦和一个余弦周x,期函数之和，其频率同
kk
为:5-乎,其中为所取序列总的时间长度.随着k的增大,三万方数据
当k=%时，谐波的额率最大为：%云，当k从%取到N时，其结果与<从0取到N是对称的。现在将(2)式的各次谐波写成如下形式：
+cos(
2元ki
+》
x,
(3)
2
N
其中:c同+原，为k次谱波的振幅，artan-≤),为
a
表次谐波的初相。
从(3)式也可以看出，如果知道了离散博立叶的频城变换结果，
可以通过逆变换将信号返回到时城上来。 3、硬件构架设计
离散傅里叶变换和反变换算法是一种理论算法，其运算量较大，如要求对动态信号进行实时处理，需要配合有专门的硬件电路这里提供一种能够满足用离散傅里叶变换及反变换实现数字滤波器的硬件构架，结构框图如图1所示。
A/D
存储器1K
CPLD DSP
图1硬件结构图
D/A 工存储器2
该硬件构架组要由CPLD可编程器件，DSP数字信号处理器，存储器1和存储器2，以及A/D,D/A等六部分组成。A/D由CPLD控制，一直对模拟信号进行采样，并在CPLD的控制下降采样数据存人存储器1中；DSP读取存储器1中的N各点做离散博里叶变换并进行滤波，完成后将数据存入存储器2中，D/A在CPLD的协调控制下通过读取存储器2中的N点数据并转换输出。在该构架中，DSP会和 CPLD进行信息交换，以便存储器的及时刷新和保证输出模拟信号的连续性。
4、软件算法设计
通过对离散傅立叶变换的理论分析可以得到，如果对一个连续信号进行等间隔采样，采样频率满足采样定理，就可以得到一系列的离散点数，如果再对这些采样点数以N点为一组，就可以将信号
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