: 48.
函数展成幂级数的方法
宋政芳
（上海电力学院数理学院，上海200000）
要：本文给出了函数展成算级数的几种方法，并通过例题予以说明。摘
关键词：直接法：复合代换法：待定系数法
函数展成暴级数是高等数学这门课程的一个重点，笔者总结了几种函数展成幕级数的方法供大家参考。
1直接法
对于一部分函数，各阶导数比较容易求出的，可以用直接法来求。先求函数()在如处的各阶导数值，求出。(）
，得
t)=a,(-为）例1:将y=sinx在x=0处展为幕级数。
解：
y(0) =0, y=eosx. y(0y=0, y"=-sinx. y"(0)=0,
y.coss.y"(0) =-l:y(.sinx,y(0) 0) p = sinr+
可以发现y=sinx各阶导数值顺序循环地取四个数0,1,0,-1，
所以y=sinx在x=0处展开的暴级数为 sina=r
+..-
S
(2n+1)t
除了直接法，下面介绍的方法都是间接法 2利用级数可导、可积的性质
(rer)
幕级数的和函数在其收敛域内可导、可积，对和函数求导、求积分相当于对其幕级数逐项求导、求积分。利用这个性质可以求一些函数的幂级数展开式。
例2：将y=00sx在x=0处展为幕级数。
解：因为 sinx=x
3571
.-(1)*
对上面等式左右两边求导可得
cosr=1-
9
3利用复合函数代换的方法
2
(xeR)
(2n+D!
..+(-I)"
(2n)!
(xeR)
，那么(ow-e，
如果已知-
a,a
根据此复合代换的方法可以求函数的幕级数展开式。
例3：将y-！
在x=3处展成暴级数。
解：因为
在x=0处展成的暴级数为
(-I)r(-I<<) 1+x
所以
一
也做相同的代换，所以
3+ (x3)
Htym-
31+(#-3)
代换上式中的x，等号右边
-(e) 3
(-)-3)
(06)
4待定系数法
科技论坛
所谓待定系数法.就是先将给定的函数(x)表示成系数a待定
的级数：()-
≥a,"。由于g()=F(x)(x)面且g(x)与 h(x)的展开
式是已知的，将它们带人上式并将右端两级数相乘后再比较等式两端同次幂的系数，就可以确定各待定系数a，从面求出(x)的霉级数展开式。
例4:求出y=tanx在x=0处的展开式。（到含x"即可）
解：因为v=lanx是奇函数，设uanx=a,x+a,+a,r+a.xr+..
+-)
有因为sin=x-
ISE
(2n+1)! ++(-
xxx
cosx=1-
4
(2n)!
21
6!
而sinx=tanxcosx，故有
x X-
3元
+..=(ax+ax+ax+a.x.-)
a
+
9
+-)+
=ax+(a:-
+a,
比较等式两边同次需的系数得
a=l,a,
G
-
63
2]
21
4
aa
)x +
2
g 21
.+ 4+
46 2!
所以tanx=
17
a+
6! 2
4515
元315
+2+
+ 315
15
函数展成暴级数常用的方法就是这几种，当然还有其它的，感兴趣的可以找找看。
参考文献
[1]高等数学（第七版）同济大学数学系编[M]北京：高等教育出航社