JF
中华人民共和国国家计量技术规范
JJF 1059.2-2012
用蒙特卡洛法评定测量不确定度
Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty
2012-12-21 发布
2013-06-21实施
国家质量监督检验检疫总局发布 JJF1059.2—2012
用蒙特卡洛法评定测量不确定度
JJF 1059.2—2012
Monte Carlo Method for Evaluation
of Measurement Uncertainty
归口单位：全国法制计量管理计量技术委员会起草单位：北京理工大学
中国计量科学研究院国家质检总局计量司江苏省计量科学研究院
本规范委托全国法制计量管理计最技术委员会负责解释 JJF1059.2—2012
本规范起草人：
周桃庚 北京理工大学叶德培沙定国 北京理工大学原遵东 中国计量科学研究院施昌彦陈 红 国家质检总局计量司赵峰 江苏省计量科学研究院 JJF1059.2—-2012
目
录
引言 1适用范围.· 2．引用文件…· 3术语和定义- 4蒙特卡洛法 4.1 蒙特卡洛法的实施步骤 4.2# 模型的建立· 4.3 蒙特卡洛试验次数 4.4 输入量概率分布的抽样及模型值计算 4. 5 输出量分布函数的离散表示. 4.6 输出量及其标准不确定度
(I) (1) (1) (2) (5) (5) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (8) (9) (10) (10) (11) (12) (16) (31) (32) (33) (36)
.
输出量的包含区间 4.8 自适应蒙特卡洛方法·.. 5报告结果 6用蒙特卡洛法验证GUM法的结果 6.1用蒙特卡洛法验证GUM法的结果 6.2用于验证GUM法的蒙特卡洛试验次数附录A常见的输人量概率密度函数附录B用蒙特卡洛法传播概率分布实例附录C MCM与GUM法的比较附录 D 分布传播的基本原理附录E 基本符号附录F 常用术语的英汉对照
4.7
I JJF1059.2—2012
引言
本规范规定了用蒙特卡洛法（MonteCarloMethod，简称MCM）评定与表示测量不确定度的方法，其核心内容是在建立测量模型的基础上采用MCM进行概率分布传播。本规范适用于具有多个输人量和单一输出量的测量模型。
本规范是JJF1059.1一2012《测量不确定度评定与表示》的补充件，等同采用国际标准ISO/IECGUIDE98-3：2008（GUM）的附件1：《用蒙特卡洛法传播概率分布》 (Supplement 1:Propagation of distributions using a Monte Carlo method)，但在结构编排上作了较天改动。
本规范描述的MCM尤其适用于以下三种情况：
测量模型明显呈非线性；一输人量的概率密度函数（probabilitydensityfunction，简称PDF）明显非对称：一输出量的PDF较大程度地偏离正态分布或t分布，尤其分布明显非对称的
场合。 在上述情况下，按JJF1059.1确定的输出量估计值及其标准不确定度可能变得不
可靠，或可能会导致对包含区间或扩展不确定度的估计不切实际。
在JJF1059.1中，输入量的信息是最佳估计值、标准不确定度、自由度和协方差，在本规范中，输人量的信息是输入量的PDF。
在JJF1059.1中，是通过不确定度传播律确定输出量的合成标准不确定度。在本规范中，采用MCM进行概率分布传播确定被测量的估计值及其包含区间。
本规范的附录A“常见的输人量概率密度函数”、附录B“用蒙特卡洛法传播概率分布实例”、附录C“MCM与GUM法的比较”和附录D“分布传播的基本原理”是本规范内容的补充，所用的基本符号，取自GUM及有关的ISO、IEC标准。附录E“基本符号”和附录F“常用术语的英汉对照”分别为参考文件。
本规范为首次发布。
I JJF1059.2—2012
用蒙特卡洛法评定测量不确定度
1适用范围
1.1本规范为测量不确定度评定提供了一个通用的数值方法，适用于具有任意多个可由概率密度函数（PDF）表征的输人量和单一输出量的模型。 1.2本规范主要涉及有明确定义的，并可用唯一值表征的被测量估计值的不确定度。 1.3本规范为输出量PDF提供一个表示方法。由于一般不能确定输出量的PDF的解析表达式，故本方法是在规定的数值容差下估计出PDF的三个主要特征量：
1）输出量的估计值； 2）该估计值的标准不确定度； 3）约定包含概率的输出量包含区间（包括任意包含概率，以及概率对称包含区间
.
和最短包含区间）。 1.4本规范特别适用于评定以下典型情况的测量不确定度问题：
a）各不确定度分量的大小不相近； b）应用不确定度传播律时，计算模型的偏导数困难或不方便； c）输出量的PDF较大程度地背离正态分布、t分布； d）输出量的估计值和其标准不确定度的大小相当； e）测量模型明显呈非线性； f)输量的PDF明显非对称。
1.5本规范提供了检查GUM法是否适用的验证方法。GUM法若明显适用，则依然是不确定度评定的主要方法。
注： 1本规范未考虑定义输出量不唯一的模型的情形。例如，没有指定二次方程取哪个解。 2本规范未考虑获得输出量先验PDF的情形，但本规范采用的方法作适当的改动后可处理这
种情形。
2 引用文件
JJF1059.1--2012测量不确定度评定与表示 GB/T3358.1一2009统计学词汇及符号第1部分：-般统计术语与用于概率的
术语
GB/T8170-2008数值修约规则与极限数值的表示和判定 ISO/IECGUIDE98-3：2008测量不确定度第3部分：测量不确定度表示指南
(GUM:I995)(Uncertainty of measurement--Part3:Guide to the expression of uncer- taintyinmeasurement(GUM:1995))
ISO/IECGUIDE98-3/SuPpl.1：2008测量不确定度第3部分测量不确定度表示指南（GUM：1995）附件1：用蒙特卡洛方法传播概率分布（Uncertaintyof
1 JJF1059.2—2012
measurement-Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM: 1995) Supplement 1: Propagation of distributions using a Monte Carlo method)
ISO3534-1：2006统计学术语和符号第1部分：般统计术语和概率术语 (StatisticsVocabulary and symbols-Part l: General statiatical terms and terms used inprobability)
ISO/IECGUIDE99：2007国际计量学词汇——基本通用的概念和相关术语 (VIM) (International vocabulary of metrologyBasic and general concepts and associated terms(VIM))
凡是注日期的引用文件，仅注日期的版本适用于本规范；凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用本规范。
3术语和定义
本规范主要采用ISO/IECGUIDE98-3：2008的附件1中的术语和定义。根据本规范的特点，其中有些术语与JF1001—2011《通用计量术语及定义》、JJF1059.1一 2012《测量不确定度评定与表示》的相关定义有所不同。 3.1概率分布probabilitydistribution
给出一个随机变量取任意给定值或取值于某给定集合的概率的（随机变量）函数。 注： 1随机变量在整个集合中取值的概率等于1， 2一个概率分布与单一（标量）随机变量有关时称为单变量概率分布，与随机变量的向量有关
时称为多变量概率分布。多变量概率分布也称联合分布。 3-个概率分布可以采用分布函数或概率密度函数的形式。
3.2分布函数distributionfunction
对于每个值，给出了随机变量X小于或等于的概率的一个函数，用式（1）表示：
(1)
Gx()=Pr(X≤$)
3.3概率密度函数probabilitydensityfunction，PDF
分布函数的导数，若导数存在，则
gx($) = dGx() /ds
(2)
3.4正态分布normaldistribution
连续随机变量X的概率分布，其PDF为
gx() =1 exp。
1-片
(3)
18AA8
g/2元.
式中： -—X 的期望; -标准偏差。 注：正态分布也称作高斯分布。
3.5t分布tdistribution 2 JJF1059.2—-2012
连续随机变量X的概率分布，其PDF为
(叶1)/2
gx(3) =[(+1)/21(1 +兰)
(4)
/r(/2)（ U
式中：一8<<8，v表示分布的自由度，为正整数，伽马函数如式（5）
r(2) : t-le-"dt, z>0
(5)
3.6期望 expectation
随机变量的性质，对于PDF为gx（）的连续随机变量X，由式（6）给出
E(X) : sgx(s)ds
(6)
3.7方差 variance
随机变量的性质，对于PDF为gx（S）的连续随机变量X，由式（7）给出
V(X) = ($--E(X))gx()d§
(7)
3.8标准偏差standarddeviation
方差的正平方根VV(α）。 3.9r阶矩 momentof orderr
连续随机变量X的r次幂的期望，即
E(X")
'gx($)ds
(8)
注： 1r阶中心矩为随机变量=[X一E(z)]的期望。 2期望E(X）是一阶矩，方差V(X)是二阶中心矩。
3.10协方差covariance
两个随机变量相互依赖性的度量，对于联合（多变量）PDF为gx（$）的两个连续随机变量X,和X2，由式（9）给出
Cov(Xi, X,)=[ [ -E(X,) [ E(X2)] gx()dds2
(9)
式中，X=(X1，X2),=($，$)。 注：在JJF1059.1中，协方差的定义为：协方差是两个随机变量相互依赖性的度量，它是两个
随机变量各自的误差之积的期望。用符号COV(X，Y）或V(X，Y）表示
V(X，Y)=E[(X-x)(Y-)]
(10)
3.11不确定度矩阵uncertaintymatrix
NXN维矩阵，其对角线上的元素为N维向量中分量的估计值的标准不确定度的平方，其他非对角线上的元素为两个估计值之间的协方差。
注： 1向量X的估计值x的NXN维不确定度短阵U的表达式为
[u(,).(,)
.. :
: u，) ...u(IN, IN)
(11)
U,:
3