数事共来与表用
基于直接离散化方法的分数阶PIαDβ
控制器设计吴海洋
(大连交通大学电气信息学院辽宁大连116028)
数控技术
摘要：分数阶微积分在控制领域值得研究的问题有很多，本丈主要研究分数阶PI"D"控制器不同的设计方法以及分析他们各白的控制性能，并且详细介绍了基于直接离散化方法的分数阶PID"微积分算子近仅离收化过程。直接高教化方法以Tustin+CFE为例设计了分数阶控制器，并得到其 Z城数宇表达式,并最终得到性能良好的分数阶PI"D"控制器。
关键调：分数阶微积分直接离教化PI"D"控制器
中图分类号：TP301 1引言
文献标识码：A
文章编号:1007-9416(2013)09-0003-02
以得到不同的离散化结果。近年来国内外学者针对分数阶微积分算
PID控制器是最早出现的控制器类型，在过程控制与运动控制系统中占有重要地位。由于PID控制器结构简单、各控制参数物理意义明确，调整方便、可靠性高和鲁棒性好等特点，而在工业控制中倍受青，应用极为广泛。随着近几年分数阶微积分理论的不断发展和完善，并且在计算机发展应用的基础上，分数阶控制理论的实际应用得以实现。因此，关于分数阶PI"D"控制器的研究已成为个新的方向间。在分数阶控制理论历史上，分数阶PI"D"控制器的出现为分数阶控制理论开释了的应用途径，在控制领域具有里程碑的意义。
分数阶PI"D"控制器设计完成后，应用于实际系统之前必须进行数字实现，原因是分数阶目前不能被直接运算，那么就需要用现在可以实现的数字表达式进行近似表达，一般而言，根据逼近形式的不同分为直接离散化和间接离散化，直接离散化方法其实质是通过生成函数直接转换到离散时间Z域中，然后采用某种展开方法得到一个有限阶次的离散表达式。对于一个分数阶微积分算子来说直接离散化的主要工作包括分数阶生成函数的选择和分数阶生成函数的展开两大部分。不同的生成函数和展开方法的组合形式，可
R(s)+E(s)
Gc(s)
Y(s)
G(s)
图1.1分数阶控制系统结构图
U(s)
Fig. 1.1 Structure diagram of fractionalorder control system
Ge (S) 比例Kp
R(S)
E(S)
分数阶积分 Ki/so
分数阶微分 Kdsa
us
G(S)
图1.2分数阶PI"D°控制器系统结构图
Fig. 1.2 Structure diaqram of fractionalorderPj*D
controller system
YS
子离散化进行了各种研究，提出了很多的离散化方法，例如，递归式展开法(Muir-recursion)和连分式展开法(CFE：ContinousFrac tional Expansion)等等。
本文在下面各节将分别讨论基于直接离散化方法的分数阶PI°D 控制器设计问题。
2直接离散化方法基础
2.1 生成画数(Generation Function)
在控制理论与控制工程当中，通常会用传递函数或者微分方程来描述一个控制系统。由于用解析方法来求解分数阶微分方程相对比较复杂，因此，在工程领域中分数阶微分方程的数值解法则得到更为广泛的应用。对于分数阶控制系统，分数阶微积分算子s(rER) 可用生成函数表示s三2-），即分数阶微积分算子到Z域的一个变换。下面介绍儿种常见的生成函数及其表示方法。
(1)Tustin算法(双线性变换法或梯形法)：
212
(o(2-)产
T 1± -
(2)辛普森(Simpson)方法：
(
3 (1 + z)(1 2 1 + 4z + z
(1.1)(1.2)
为了克服在高频段的逼近误差，也可以选用两种或者两种以上的生成函数进行线性组合，以下辛普森和梯形算法也采用了同样的方法。
(3）辛普森和梯形算法(TheSimpsonandTrapezoidal Operator)：
(o(2")=k
1 g-2(1+b2)
(1.3)
其中(1.3)是采用辛普森积分算子与Tustin算子进行加权求和，从而构造出一种新的生成函数。
2.2生成函数的展开法
通过以上对生成函数的介绍，可以发现当分数阶微积分从S域转化到Z域后，生成函数是一个无理函数。因此还需要对其进行有理近似，常见的展开方法有以下几种。
(1)泰勒/麦克劳林展开法(Taylor/MaclaurinExpansion)