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优美图及其连图
林斌
（文县一中，甘肃文县746400）
109.
四角鲜人掌图的概念，雅广到图G,(m.m，m，n)t-1,2,3).证明了图G(m，m,,--m，nt=1,2,3)
摘要：本文将m重
是优美图，且是交错图.并给出它们的连图，其连图电是优美图，而且是交错图。
关键词：连图：优关图：交错图
优美图是图论中极有趣的研究课题之一，由于它的趣味性和应用性，自1967年G.Kingel提出猜想：所有的树均为优美树以来，很快受到人们的重视最近几十年来，人们对这一课题的研究非常活跃，但由于缺乏一个系统和有力的工具，迄今只能对一些特殊的图
研究其优美性。
本文研究了两类图以及它们连图的优美性，并证明了它们是
交错图。
1基本概念
定义1一个q条边的简单图G(V,E),如果存在一个单射f:V(G)0,1，"g)，使得对所有的边e=(u,) EE(d f(u)-f() 导出E(G)<>{1,2,-,q}一个双射,则称G是优美图,f是G的一个优美标号(或优美值)。
定义2
一个图G项点集V能分成两个非空子集X和Y.使
得XUY=V(G),XnY=Φ,且G的每条边两端点分别在X和Y中,称此图为二分图，如果此图是优美的则称此图为优美二分图。
定义3G是一个n个项点的优美二分图,其优美标号为(v),V(G)分成两个集合X和Y,如果有maxf(v)minfu),则称G为交错图V也为它的交错标号
定义4m重——四角鲜人掌图,记为G(m,n)把G中的m推广到"，，严，，""。，使每个块中的m可同也可不同，便得到一个新图，记为G(m.m.-m,n)
2定理及证明
定理1对自然数m，三，m。n有G（m，n）（*=时+）是优美图,且也是交错图。
证明如图为G（m，m，m，n）。方法一,(1)给出优关标号如下：
f(x)=/ 1
F(,) = n +1+ 2(i 1)
=n+2/1
F(%=,) = n + 1+ 2(m, 1) +1+ 2( 1)
= # +1+ 2m, 2 +1+ 2i2 = n + 2m, + 2i 2
f(yi,) = n + 2m, + 2m, 2 + 1+ 2(i 1)
= n+ 2m, + 2m,- + 2i 3
F(y,-,) = R + 2m, + 2m,I + 2m,-: + 2i 4
(I = 1,2. .-. n + 1)(i =1,2.-.,m.)( 1,2,--,m,)(1,2,,m._)( 1,2,--,m-)( 1,2,-,m.)(f 1, 2,-, M-)(f =1, 2, , m._.)(f = 1,2, -*, m,--)
f(y, ) = n + 2m, + 2m._- + · + 2m, + 2i (n1)
= 2m, + 2m, + · + 2m, + 2i +1 f(y)= n+ 2m, +..+ 2m, + 2i n
= 2m, +..-+2m, +2i
(i=1,2,.-.,m,)(i= 1,2,--.,m,)
下面验证「是G(m，mm，)的优美标号，设 4 = ((x),i =1,2,--, n+1) = (0,1,-,n)
A, = (f(_)Uf(.-.,)U--.Uf(.),f = I,2,--m,; J =1,2,.-, m.-
..-;k = 1,2,.--m?
= (n+1, n+ 3,.-, n+ 2m,.R+ 2m,.--)
显然(4, U.4,) C (0,1,2, -,2m, ++ 2m, + 2m,) 且440则元到012的单时
图1 图3 图5 图7 图9
图2 图4 图6 图8
Yioiia
图10
生得(e）-证r是至2—的—个双时，国雨是C（m用，一m，对的优美标号
(2)又G(m，w,m品优美二分图设X{x,-1,2,,+1),
Y={y,y..-,J;f =1,2,.- m.. j =1,2,--,m.--;k =1,2,--m
MxUyViGL XnY = 2, max f(v)=n, min f(u)= n + I, tmaxvyminuyewomGm.mmm交tm 方法二：(1)给出优美标号如下：
f(,)=f1,
f(y) =m+(1.
f(y.,) = m, + m, +..-+m.- + I1, f(y.) = m, + m, +.+ m-- + i1, f(x+) = m, + m, + - + m, +11, F(x,) = m, + m, + + m.++ 2m, +11,
(i = 1,2,*,m).( 1,2, **, m,).
(i = 1, 2, --,m.)(1,2, -,m,)
f(x._.) = m, + m, +·. + 2m-- + 2m, +11,
f(x) = 2m, +2m, + +2m, +11. 其优关性和交错性证明类似方法
定理2对自然数m，m，,,m。，"有G,(m，m，""，m。，"）是优
关图且也是交错图。
证明如图2为G,(m,，m,-m,n）。
方法一,(1)给出优关标号如下：其中()=F(xu)
f()=f(,)