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留数定理及其应用
沈艳微1李金枝2
（1、绥化学院信息工程学院，黑龙江绥化1520612、哈尔滨师范大学理学院，黑龙江哈尔滨150100）
科技论坛
摘要：留数定理能够解决很多复杂的积分计算问题。本文总结了用留数定理计算一些广义积分及特殊的定积分的方法，并通过实例进行了说明
关键词：部数：留数定理：广义积分
留数定理是复变函数论的重要组成部分，在复变函数的发展和应用中具有重要的作用，而且广泛应用于其它科学领域，如理论物理、流体力学等
留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路线的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了基础"。随着留数概念的完善和留数定理的产生，复积分的计算间题得到了很大的推动.并且解决了很多广义积分及特殊定积分的计算间题。
1计算+"f(x)d型积分
当被积函数x)是x的有理函数，而分母的次数至少比分子的次数高二次，并且(x)在实轴上没有奇点，则积分存在。若设(2)在上
半平面Imz>0的极点为a，a，""，a，则 +~ f(x)dx = 2mi Z ResL(z),a,] 。
tma, >0
x
例1计算J。1+
解：由于被积函数为偶函数，所以所求积分
r
1±
的次数高一次.设x)在实轴上除去有限个一阶极点X，X，",。外处处解析在上半平面Im2>0除去有限个极点212，外处处解析，则积分存在，且
f(r)e"dx=mRes(z)e",x)]+2i Res[(z)e",=)]
knz > Cte sinx ax
例3
计算秋利克雷积分
sin dx =
解：由于被积函数是偶函数.所以
,从而f()e*=e
设(z)= +*sind a
3计算一些类型的定积分例4计算开普积分
+ sin x ak
2Jx
。由点2=0是(z)的一阶极点，所以 da)maiRet,o
rde
(0 1)
2 J。(1+cos6)*
解：令z=e",得原积分
2=de
. ()=
++
fep
，在上半平面有两个在圆=1内只有一个2阶极点
dr。又因为(z)=
1+3
2+VE，所以
阶板点=2+V
2
2
()+e
4/2+4/2"2/2
2计算
"f(x)e"dx(m>0)型积分
2.1当被积函数(x)是x的有理函数，面分母的次数至少比分子的次数高一次,并且(x)在实轴上没有奇点时，则积分存在。若设(2)
在上半平面ImZ>0的极点为4,4",0则 +(x)edx =2m Res[f(z)e,]。
Ims>
将上式分开实虚部，就可以得到形如 J(n)sinmxdx的积分。
++mcos 2x
例2计算J
(x* +1)*
解：令()-
(x* + 1)*
f(x)cos mxdx及
，则被积函数写成(x)cos2x，为偶函数：
(-+下在上半平面内只有一个二阶极点2=1，所以 f(z)
=XpX .S00J
ocos2x
d
(x* + 1)*
2 J. ( + 1)*
Re(2wiRes()",)=
3 4e
2.2当被积函数(x)是x的有理函数，面分母的次数至少比分子
1+ Vi e2 2
2(+兰+1)
由留数定理得Res(f(z),z,):
再由留数定理得，原积分：
2i Res(f(z), =,)= ie'
2yagy 1
yasy
由上，我们发现留数定理能解决复杂的积分的计算间题。面积分的计算间题不仅在数学中应用广泛，更重要的是它在物理学、经济学等其它自然科学中应用广泛。比如例3中的获利克雷积分和例4中的开普勒积分，在物理学中的应用都很广泛。除此，在研究光
Csinxdx和
的衍射时，要算菲涅耳积分
究热传导时，要算积分

拉积分
e
"cosxdx；在研
cosbxdx；在其他间邀中会遇欧
等积分，这些实积分转化为复积分，用留数定理
Jo 1+x
相关理论进行计算有事半功倍的效果。详见参考文献2
参考文献
[1]林金火，留数定理在广义积分中的应用[』九江职业技术学院学报,2007.1:8485
[2]完巧玲，利用复积分计算实积分[]菏泽学院学报，2010,3;28-31.[3]吴白旺，利用复积分计算一种特殊类型的定积分[科技创新导报，2010,2:241
[4]钟玉泉，复变函数论[M]（第三版)，北京：高等教育出版社，100 260
本文为绥化学院骨年基金项目，项目名称：留数定理及其应用；项目编号：K01302006
作者简介：沈艳微(1982-)，女，满，黑龙江省双城人，讲师，頭士，主要从事数学教育研究。