第51卷第13期 2015年7月
机械工程学报
JOURNALOFMECHANICALENGINEERING
DOI:10.3901/JME.2015.13.081
线变换刚体运动矩阵的群表示方法
杨朔飞1孙涛1黄田1戴建生1,2
(1.天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室天津300072：
2.伦敦大学国王学院伦敦WC2R2LS英国）
Vol.51 Jul.
No.13 2015
摘要：研究刚体有限和瞬时运动线变换矩阵的群表示方法。利用刚体运动微分方程导出线变换瞬时运动与有限运动的指数积映射显式表达。借助群表示论研究线变换有限及瞬时运动矩阵集合与SE(3)及se(3)在运动合成方面的等价性，证明前者是后者的忠实表示，并揭示出这种表示与伴随表示间的同构关系。工作旨在将描述刚体有限和瞬时运动不同的方法统一在群表示论框架下。
关键调：刚体运动描述：线变换；群表示论中图分类号：TH112
GroupRepresentationofLineTransformationMatrixofaRigidBody
YANG Shuofeil SUN Tao'HUANG Tian'DAI Jianshengl.2
(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education,
Tianjin University, Tianjin 300072;
2. King's College, University of London, London WC2R 2LS, UK)
Abstract: The group representation of the line transformation matrices of finite and instantaneous motions of a rigid body in 3D space is investigated. The exponential mapping from the instantaneous motion to the finite motion is developed in an explicit manne using the differential equation of line transformation, This is followed by a vigorous proof that the entire set of finite (instantaneous) motion matrices of the line transformation is a faithful representation of SE(3) (se(3), which, in turn, is isomorphic with the adjoint representation of SE(3) (se(3) itself. The merit of this work lies in that it allows different representations of finite and instantaneous motions of a rigid body to be unified under the framework of group representation theory.
Key words:description of rigid body motions;line transformation; group representation theory
刚体有限和瞬时运动描述方面做了大量富有成效的
0前言
在同一数学框架下严格准确地表述刚体的有限和瞬时运动是机构学研究的经典问题，也是机构拓扑构型综合、运动学与刚体动力学建模与分析的重要数学基础[1-2]。有关刚体有限和瞬时运动的描述3]可追溯到EULER等提出的空间转动特征参数及有限转动与瞬时转动的映射关系，即著名的 Euler-Rodrigues参数与Euler-Rodrigues旋转公式[]。而后KLEIN等通过引入群论对上述工作做了重要补充和拓展，进而为一股刚体运动的普适性描述奠定了重要的理论基础。近50年来，机构学工作者在
·国家自热科学基金(51135008，51205278)和天津市科技型企业技术创新(14C26211200362)资助项目，20150131收到物初稿，20150525收到修改确
工作，其中基于点、线变换矩阵的描述格式因最为简洁，故被广为接受和应用[5)。对于各种刚体运动描述方法的研究主要包括以下三个方面：①刚体运动变换微分方程的建立；②刚体瞬时与有限运动间指数积映射及其显式表达的推导：③刚体运动集合代数结构本质的探究。
目前，点变换4阶实方阵的研究已成熟。前人已借助刚体运动学基本原理建立了点变换微分方程，并通过求解该微分方程得到了点变换瞬时与有限运动间指数积映射的显式表达[6-7]。此外，研究证明，点变换有限运动矩阵集合与瞬时运动矩阵集合分别构成特殊欧氏群SE(3)及其李代数se(3)的子群与子代数作用在R*上的表示[6]。关于线变换6阶实方阵及3阶对偶阵的研究虽已取得了诸多成果[8-16],